Dans le dossier consacré à la détermination des paramètres de l'air humide, nous avons vu que calculer l'humidité relative à partir de la température de rosée n'était pas chose aisée. Cela explique probablement qu'il n'existe apparemment rien dans la littérature apportant des informations concrètes s'agissant de l'humidité relative ainsi calculée. Dans les lignes qui suivent, le lecteur trouvera un calcul d'incertitude sur la détermination de l'humidité relative à partir de la température de rosée, de la température sèche et de la pression atmosphérique. Enfin, les calculs étant un peu lourds à mettre en oeuvre, un formulaire de calcul en ligne a été inclus à la fin de ce dossier.

1. Calcul de l'incertitude

1.1. Rappel de l'équation physique

  On a vu dans les dossiers précédents que l'expression donnant l'humidité relative à partir de la température de rosée est de la forme :

Dans cette expression \( \theta_{d} \) est la température de rosée exprimée en degrés Celsius, \( \theta_{s} \) est la température sèche en degrés Celsius, P est la pression atmosphérique en pascals, U_w est l'humidité relative en pourcents et e_w est la pression de vapeur saturante (en pascals) au dessus de l'eau en phase pure définie (d'après [1]) par la relation :

dans laquelle t est la température en degrés Celsius et les coefficients ont les valeurs suivantes :

Dans l'expression (1), f_w est le facteur d'augmentation défini (d'après [1]) par la relation :

dans laquelle t est la température en degrés Celsius et P la pression en pascals avec :

et les coefficients ayant les valeurs suivantes :

1.2. Modèle de la mesure

  L'équation physique (1) doit être complétée pour prendre en compte le fait que f_w et e_w sont connus grâce à des modèles approchés. Le modèle de la mesure est donc :

avec :

• C_fwd la correction sur la modélisation de f_w en (p, θ_d) ;
• C_fws la correction sur la modélisation de f_w en (p, θ_s) ;
• C_ewd la correction sur la modélisation de e_w en θ_d ;
• C_ews la correction sur la modélisation de e_w en θ_s.

Dans la pratique toutes ces corrections sont de valeur nulle en moyenne mais pas leur incertitudes.

1.3. Linéarité du modèle

  Avant d'appliquer la loi de propagation des variances, il est nécessaire de s'assurer de la linéarité du modèle employé. Les graphiques ci-dessous (figures 1 à 7) incitent à penser que localement la linéarité du modèle est suffisante pour se limiter au premier ordre lors du développement de U_w. Cette hypothèse sera confirmée par la suite par simulation de Monte-Carlo (cf. 3.).

1.4. Propagation des variances

  La loi de propagation des variances appliquée au modèle (6) s'écrit :

Note : dans les calculs qui suivent C_fws est considéré comme une variable aléatoire d'éspérance mathématique nulle et de distribution uniforme. La demie étendue de cette loi est majorée sur la plage de définition de P et θ_s, ce qui permet alors de considérer la variable C_fws comme non corrélée avec les autres variables. On applique le même raisonnement à C_fwd, e_ws et e_wd.

1.5. Calcul des coefficients de sensibilité

1.5.1 Dérivées des modèles de base

  Les dérivées de U_w font apparaître la dérivée de la pression de vapeur saturante e_w par rapport à la température et les dérivées partielles du facteur d'augmentation par rapport à la température et par rapport à la pression.

1.5.1.1 Pression de vapeur saturante au dessus de l'eau en phase pure

avec t la température en degrés Celsius et :

1.5.1.2 Facteur d'augmentation

  La dérivée par rapport à la température s'écrit :

avec t la température en degrés Celsius et les fonctions α et β définies dans les équations (4) et (5).

Les dérivées de α et β sont :

  Et enfin, la dérivée par rapport à la pression s'écrit :

1.5.2 Dérivées du modèle

  En remarquant que C_ews = C_ewd = 0 et C_fws = C_fwd = 0, il vient les dérivées suivantes :

1.6. Composantes d'incertitudes

  Les incertitudes élémentaires u(θ_d) sur la température de rosée, u(θ_s) sur la température sèche et u(p) sur la pression atmosphérique sont des données issues des mesures effectuées. Il reste à calculer les composantes dues à la modélisation de f_w, c'est-à-dire u(C_fws) et u(C_fwd) ainsi que les composantes dues à la modélisation de e_w, c'est-à-dire u(C_ews) et u(C_ewd).

  En ce qui concerne la composante d'incertitude due à la modélisation de f_w, c'est-à-dire u(C_fw) ainsi que la composante due à la modélisation de e_w, c'est-à-dire u(C_ew) les valeurs données dans les paragraphes suivants sont recommandées.

Incertitude due à la modélisation de f_w : u (C_fw)

  D'après la référence [1], l'incertitude sur la modélisation de f_w est de 0,08 % en valeur relative. En remarquant que f_w < 1,1 on a alors une erreur de modélisation inférieure à 0,000 88 d'où l'incertitude type :
  \( u(C_{\text{fw}}) = \dfrac{0,000~88}{ \sqrt{3} } \approx 0,000~51~\text{.} \)

On retiendra donc :
  \( u(C_{\text{fw}}) = 0,000~51~\text{.} \)

Incertitude due à la modélisation de e_w : u (C_ew)

  D'après la référence [1], l'incertitude sur la modélisation de e_w est de 0,01 % en valeur relative. En remarquant que e_w est une fonction croissante il suffit de limiter le domaine d'utilisation en température et de considérer la valeur maximale de la pression e_w. D'où l'incertitude type :
\( u(C_{\text{ew}}) = 1 \times 10^{-4} \dfrac{ e_{\text{wmax}} }{ \sqrt{3} }~\text{Pa .} \)

Une série de valeurs de u (C_ew) sont proposées dans le tableau 1 (dans ce tableau θ_m représente la température sèche maximale possible lors de l'utilisation du convertisseur).

2. Calcul en ligne

Remarque : on observera qu'en saisissant des incertitudes types nulles pour la température de rosée, la température sèche et la pression atmosphérique on obtient alors l'incertitude type due uniquement à la formule de conversion. Par exemple pour une température sèche de 20,00 °C, une température de rosée de 9,28 °C et une pression atmosphérique de 101 325 Pa l'incertitude élargir due à la formule de conversion est 0,08 % (k = 2). En conservant à l'esprit que les incertitudes d'étalonnage au meilleur niveau sont généralement de quelques dixièmes de pourcents, ceci prouve qu'il ne faut pas négliger l'incertitude sur les modélisations.

3. Validation du calcul d'incertitude par simulation de Monte-Carlo

  Si la méthode de propagation des variances recommandée par le GUM [2] est acquise, il n'en demeure pas moins que son application à un modèle donné suppose quelques hypothèses, notamment de linéarité du modèle. La méthode de propagation des des distributions par simulation de Monte-Carlo [3] permet de calculer l'incertitude au moyen d'une autre méthode et de s'assurer que la méthode du GUM s'applique [4]. Le calcul de l'incertitude par simulation de Monte-Carlo a été effectué au moyen du logiciel MC-Ed [4].

En considérant les données suivantes :

le calcul effectué au moyen du formulaire du paragraphe 2 donne avec un coefficient d'élargissement k = 2 :

Le même calcul effectué au moyen de MC-Ed [4] donne pour un échantillon de 100 000 valeurs, l'intervalle élargi à 95 % suivant :

La statistique par classes obtenue avec MC-Ed représentant la moyenne et l'intervalle élargi à 95 % est représenté sur la figure 8.

Les calculs effectués en utilisant la loi de propagation des variances et en utilisant la simulation de Monte-Carlo étant cohérents, l'application du GUM au modèle (6) est validée.

Le fichier contenant ce calcul, à utiliser avec MC-Ed, est disponible dans le lien suivant (décompresser l'archive dans le répertoire de MC-Ed) :

Calcul de l'incertitude avec MC-Ed

Remarque : les échantillons occupant un espace mémoire important, ceux-ci ne sont pas inclus dans l'archive. Vous devrez les générer sur votre machine.