Droite des moindres carrés et incertitudes

Un certain nombre de formules concernant les calculs d'incertitudes consécutifs à un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés sont quelques fois présentées dans la littérature métrologique. Malheureusement, les conditions d'utilisation de ces formules sont rarement précisées et les formules peu souvent démontrées. Dans le meilleur des cas, elles sont démontrées avec une approche uniquement probabiliste. Cette situation est doublement regrettable :
- d'une part car les hypothèses formulées sont en réalité très restrictives ;
- d'autre part ces formules se démontrent très facilement avec la loi de propagation des variances (ce qui a alors le mérite de prouver clairement leur compatibilité avec le GUM [1]).

1. Formulaire

Les formules de ce dossier concernent des données non pondérées.

Soit {(x_i, y_i) ∈ \( \mathbb{R} \)² , i ∈ [1…n]} un ensemble de n doublets numériques.

La droite des moindres carrés est de la forme :

y = a₀ + a₁ · x ,

(1)

avec :

\( \left\{ \begin{array}{l} \quad a_{0} & = \dfrac{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}}y_{\text{i}} - \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}}x_{\text{i}}y_{\text{i}} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} }{n \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2}} \\[3ex] \quad a_{1} & = \dfrac{n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}}y_{\text{i}} - \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}}\sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}y_{\text{i}} }{ n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} } \end{array} \right. \) .

(2)

En faisant les hypothèses qui suivent :
HYP1 : les incertitudes sur les valeurs x_i sont nulles,
HYP2 : les valeurs y_i ne sont pas corrélées entre elles,
HYP3 : les valeurs y_i ont toutes la même incertitude type égale à u_y,
les coefficients a₀ et a₁ admettent alors les incertitudes types suivantes :

\( \begin{eqnarray} u(a_{0}) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{\dfrac{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}}^{2} }{n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} }} \end{eqnarray} \) ,

(3)

et :

\( \begin{eqnarray} u(a_{1}) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{\dfrac{ \color{#eee}{\sum\limits_{bwabwa!}^{\text{bwabwa!}}}n\color{#eee}{\sum\limits_{bwabwa!}^{bwabwa!}} }{n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} }} \end{eqnarray} \) .

(4)

Soit maintenant x ∈ [x₁, x_n] et \( \bar{x} \) la moyenne des valeurs x₁, …, x_n. Avec l'hypothèse :
HYP4 : l'incertitude sur la valeur x est nulle,
l'incertitude type sur la valeur y interpolée par la formule y = a₀ + a₁ · x vaut alors :

\( \begin{eqnarray} u(y) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{ \dfrac{1}{n} + \dfrac{ \color{#eee}{\sum\limits_{}^{b}} \left(x - \bar{x}\right)^{2} \color{#eee}{\sum\limits_{}^{b}} }{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}\left(x_{\text{i}} - \bar{x}\right)^{2}} } \end{eqnarray} \) .

(5)

2. Démonstrations

Tout d'abord, concernant les formules des coeficients a₀ et a₁ de (2) on pourra se reporter à la référence [2].

2.1. Démonstration de la formule (3)

Posons :

\( \begin{eqnarray} \Delta = n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}} \right)^{2} \end{eqnarray} \) .

(6)

Compte tenu des hypothèses HYP1 et HYP2, la loi de propagation des variances appliquée à la formule donnant a₀ de (2) s'écrit :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{0}) = \dfrac{1}{\Delta^{2}} \cdot \sum\limits_{\text{j}=1}^{\text{n}} \left[ \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - x_{\text{j}} \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \cdot u^{2}(y_{\text{j}}) \right] \end{eqnarray} \) .

(7)

L'hypothèse HYP3 permet alors d'écrire :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{0}) = \dfrac{ u_{\text{y}}^{2} }{\Delta^{2}} \cdot \sum\limits_{\text{j}=1}^{\text{n}} \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - x_{\text{j}} \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \end{eqnarray} \) ,

(8)

ce qui s'écrit après développement et sommation :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{0}) = \dfrac{ u_{\text{y}}^{2} }{\Delta^{2}} \cdot \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} \right) \cdot \left[ n \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{ \text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \right] \end{eqnarray} \) ,

(9)

soit après simplification :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{0}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}x_{\text{i}}^{2} }{n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} } \end{eqnarray} \) .

(10)

Une incertitude étant par définition positive, on déduit la formule de l'incertitude type sur a₀ :

(11)

2.2. Démonstration de la formule (4)

De même que précédemment, d'après les hypothèses HYP1 et HYP2, la loi de propagation des variances appliquée à la formule donnant a₁ de (3) s'écrit :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{1}) = \dfrac{1}{\Delta^{2}} \cdot \sum\limits_{\text{j}=1}^{\text{n}} \left[ \left( n \cdot x_{\text{j}} - \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \cdot u^{2}(y_{\text{j}}) \right] \end{eqnarray} \) .

(12)

L'hypothèse HYP3 et le développement de la formule (12) permettent alors d'écrire :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{1}) = \dfrac{u_{\text{y}}^{2}}{\Delta^{2}} \cdot \sum\limits_{\text{j}=1}^{\text{n}} \left[ n^{2} \cdot x_{\text{j}}^{2} - 2 \cdot n \cdot x_{\text{j}} \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} + \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \right] \end{eqnarray} \) ,

(13)

puis :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{n}{\Delta^{2}} \cdot \left[ n^{2} \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n \cdot \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \right] \end{eqnarray} \) ,

(14)

soit après simplification :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{n}{\Delta} \end{eqnarray} \) .

(15)

D'où la formule de l'incertitude type sur a₁ :

\( \begin{eqnarray} u(a_{1}) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{\dfrac{ \color{#eee}{\sum\limits_{bwabwa!}^{bwabwa!}}n\color{#eee}{\sum\limits_{bwabwa!}^{bwabwa!}} }{n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} }} \end{eqnarray} \) .

(16)

2.3. Démonstration de la formule (5)

Compte tenu de l'hypothèse HYP4, la loi de propagation des variances appliquée à l'équation (1) s'écrit :

\( \begin{eqnarray} u^{2}(y) = u^{2}(a_{0}) + x^{2} \cdot u^{2}(a_{1}) + 2 \cdot x \cdot u(a_{0}~;~a_{1}) \end{eqnarray} \) ,

(17)

ce qui nécessite de connaître u (a₀ ; a₁).

Par définition :

u (a₀ ; a₁) = cov (a₀ ; a₁) ,

(18)

et d'autre part :

\( \begin{eqnarray} \text{cov} (a_{0}~;~a_{1}) = \dfrac{ V(a_{0} + a_{1}) - V(a_{0}) - V(a_{1})}{2} \end{eqnarray} \) ,

(19)

ou autrement écrit :

\( \begin{eqnarray} \text{cov} (a_{0}~;~a_{1}) = \dfrac{ V(a_{0} + a_{1}) - u^{2}(a_{0}) - u^{2}(a_{1})}{2} \end{eqnarray} \) .

(20)

Le problème revient donc à calculer la variance de la somme (a₀ + a₁).

D'après les formules de (2) on obtient :

\( \begin{eqnarray} a_{0} + a_{1} = \dfrac{ \sum\limits_{\text{j} = 1}^{\text{n}} \left[ \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n \cdot \bar{x} \cdot x_{\text{j}} + n \cdot x_{\text{j}} - n \cdot \bar{x} \right) \cdot y_{\text{j}} \right] }{n \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2}} \end{eqnarray} \) .

(21)

Les hypothèses HYP1, HYP2 et HYP3 permettent d'écrire :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = \dfrac{ u_{\text{y}}^{2} \cdot \sum\limits_{\text{j} = 1}^{\text{n}} \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n \cdot \bar{x} \cdot x_{\text{j}} + n \cdot x_{\text{j}} - n \cdot \bar{x} \right)^{2} }{ \left[ n \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} \right)^{2} \right]^{2} } \end{eqnarray} \) .

(22)

Le développement de cette expression donne :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = \dfrac{ u_{\text{y}}^{2} }{ \left[ n \cdot \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}}x_{\text{i}} \right)^{2} \right]^{2} } \end{eqnarray} \)
\( \begin{eqnarray} \quad \quad \cdot \sum\limits_{\text{j}=1}^{\text{n}} \left[ \left( \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} \right)^{2} + n^{2} \bar{x}^{2} x_{\text{j}}^{2} + n^{2} x_{\text{j}}^{2} + n^{2} \bar{x}^{2} - 2 n \bar{x} x_{\text{j}} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + 2 n x_{\text{j}} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - 2 n \bar{x} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - 2 n^{2} \bar{x} x_{\text{j}}^{2} + 2 n^{2} \bar{x}^{2} x_{\text{j}} - 2 n^{2} \bar{x} x_{\text{j}} \right] \end{eqnarray} \) ,

(23)

et en remarquant que :

\( \begin{eqnarray} \sum\limits_{\text{i}=1}^{\text{n}} x_{\text{i}} = n \bar{x} \end{eqnarray} \) ,

(24)

il vient alors après simplification :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{ n \cdot \left( \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} \right)^{2} - n^{2}\cdot \bar{x}^{2} \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + n^{2} \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{3} - 2 \cdot n \cdot \bar{x} \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + 2 \cdot n^{2} \cdot \bar{x}^{3} }{ \left( n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray} \) ,

(25)

puis :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{ \left( n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x} ^{2} \right) \cdot \left( \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + n - 2 \cdot \bar{x} \right) }{ \left( n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{2} \right)^{2} } \end{eqnarray} \) ,

(26)

et enfin :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{ \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + n - 2 \cdot \bar{x} }{ n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{2} } \end{eqnarray} \) .

(27)

Les relations (3), (4), (8) et (27) conduisent alors à :

\( \begin{eqnarray} V(a_{0} + a_{1}) = u_{\text{y}}^{2} \cdot \dfrac{ -\bar{x} }{ n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{2} } \end{eqnarray} \) .

(28)

En remarquant que :

\( \begin{eqnarray} n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} - n^{2} \cdot \bar{x}^{2} = n \cdot \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} \left( x_{\text{i}} - \bar{x} \right)^{2} \end{eqnarray} \)

(29)

on obtient l'incertitude sur la valeur y en insérant les valeurs des relations (3), (4) et (28) dans l'équation (17), ce qui donne :

\( \begin{eqnarray} u(y) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{\text{i}= 1}^{\text{n}} x_{\text{i}}^{2} + n \cdot \bar{x}^{2} - 2 \cdot n \cdot x \cdot \bar{x} }{ n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} \left(x_{\text{i}} - \bar{x}\right)^{2}} } \end{eqnarray} \) ,

(30)

puis :

\( \begin{eqnarray} u(y) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} \left( x_{\text{i}} - \bar{x} \right) ^{2} + n \cdot \bar{x}^{2} + n \cdot x^{2} - 2 \cdot n \cdot x \cdot \bar{x} }{ n \cdot \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}} \left(x_{\text{i}} - \bar{x}\right)^{2}} } \end{eqnarray} \) ,

(31)

et donc :

\( \begin{eqnarray} u(y) = u_{\text{y}} \cdot \sqrt{ \dfrac{1}{n} + \dfrac{ \color{#eee}{\sum\limits_{bwa!}^{bwa!}} \left(x - \bar{x}\right)^{2} \color{#eee}{\sum\limits_{bwa!}^{bwa!}} }{ \sum\limits_{\text{i} = 1}^{\text{n}}\left(x_{\text{i}} - \bar{x}\right)^{2}} } \end{eqnarray} \) .

(32)

Références

[1]	JCGM, « Évaluation des données de mesure - Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure », BIPM, JCGM 100:2008 (version française), septembre 2008.
[2]	PLATEL F., "Détermination du polynôme des moindres carrés par une méthode algébrique", MetGen, 2004.